«Պյութագորասի թեորեմ» համառոտ

Հին հույն փիլիսոփա Պյութագորասը (Ք. ա. 570 - 495) առաջինն է ներկայացրել հոգեփոխության ուսմունքը: Նա կապված է եղել օրփեականության հին ավանդույթի հետ և նախատարր հռչակել թիվը: Փիլիսոփայի անվան հետ է կապված հայտնի Պյութագորասի թեորեմը, որը ցույց է տալիս ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերակցությունը։

Թեորեմի ձևակերպումը հետևյալն է. Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին:

Ներքնաձիգը ուղիղ անկյան դիմացի կողմն է, իսկ էջերը՝ ուղիղ անկյան կից կողմերը:

Պյութագորասի թեորեմը կարելի է ներկայացնել հավասարման տեսքով, որը ցույց է տալիս եռանկյան a, b էջերի և c ներքնաձիգի միջև եղած կապը.

a2+b2=c2

Պյութագորասի թեորեմն ունի բազմաթիվ ապացույցներ։ Դրանցից պարզագույնը հետևյալն է.

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսին հավասարամեծ է էջերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարին։ Պարզագույն ապացույցը ստացվում է հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան դեպքում։

Իրոք, պատկերը բավականին պարզ է, եթե դիտարկենք հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունների խճանկարը: Վերջինս ցույց է տալիս, որ թեորեմը ճշմարիտ է։ Օրինակ՝ ΔABC-ի համար՝ քառակուսին, որը կառուցված է АС ներքնաձիգի վրա, պարունակում է 4 եռանկյուններ, իսկ էջերի վրա կառուցված քառակուսիներից յուրաքանչյուրը պարունակում են 2-ական այդ նույն եռանկյուններից։ Թեորեմն ապացուցված է։

Տեղի ունի նաև Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը, որը կիրառվում է որպես ուղղանկյուն եռանկյան հայտանիշ: Եթե եռանկյան մի կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, ապա այդ եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Օրինակ՝

Պարզելու համար, թե արդյոք 5 սմ, 12 սմ և 13 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է, ընտրում են մեծ կողմը և ստուգում են, տեղի ունի արդյոք Պյութագորասի թեորեմը:

132=122+52; 169=144+25

Եռանկյունը ուղղանկյուն է:

Պյութագորասի թեորեմից բխող թվային մի քանի օրինաչափություններ թույլ են տալիս խուսափել հաշվարկներից:  

էջ, էջ, ներքնաձիգ

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

21, 28, 35;

12, 35, 37;

9, 40, 41....

Տես նաև Էվկլիդես «Սկզբունքներ» և Ալբերտ Էյնշտեյն «Հարաբերականության տեսություն»